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In mwbwgeometria, l'mwcainraggio è il nome dato nel mwcqtriangolo al mwcgraggio dell'mwcwincerchio, ma può essere usato analogamente anche per indicare l'omologo in qualsiasi altro poligono avente mwdacirconferenza inscritta; corrisponde però al concetto di mwdqmwdgapotema nei casi di mwdwpoligoni regolari.

Per le sue particolarità, moltiplicando l'inraggio per il mweqsemiperimetro mwegp si ottiene il valore dell'mwewarea del triangolo.

• Proprietà

• Formule geometriche

• Formule trigonometriche

• Voci correlate

• Collegamenti esterni

Dato un triangolo ABC si traccino le sue mwfwbisettrici fino al reciproco congiungimento, determinando così l'incentro I e l'inraggio mwgar della circonferenza inscritta.

Il raggio tocca i lati del triangolo nei punti di tangenza, formando con essi angoli retti, per cui mwggr può essere considerato l'mwgwaltezza dei tre triangoli IAB, IBC e IAC rispettivamente di aree:

mwhw S c = r ⋅ ⋅ A B / 2 {\displaystyle S_{c}=r\cdot AB/2}

mwig S a = r ⋅ ⋅ B C / 2 {\displaystyle S_{a}=r\cdot BC/2}

mwjq S b = r ⋅ ⋅ C A / 2 {\displaystyle S_{b}=r\cdot CA/2}

Dunque l'area S del triangolo ABC sarà pari alla loro somma:

mwkg S = S a + S b + S c = r ⋅ ⋅ ( A B + B C + C A ) / 2 {\displaystyle S=S_{a}+S_{b}+S_{c}=r\cdot (AB+BC+CA)/2}

da cui:

mwma S = r ⋅ ⋅ p {\displaystyle S=r\cdot p}

ove mwmw p {\displaystyle p} è il semiperimetro.

Dalla mwngformula di Erone ricaviamo che

mwoq S = p ( p − − a ) ( p − − b ) ( p − − c ) {\displaystyle \mathrm {S} ={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}}

ma allora, per la relazione precedentemente trovata, abbiamo che

mwpq r = S p = ( p − − a ) ( p − − b ) ( p − − c ) p {\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}

mwqa r = ( p − − a ) tan ⁡ ⁡ α α 2 = ( p − − b ) tan ⁡ ⁡ β β 2 = ( p − − c ) tan ⁡ ⁡ γ γ 2 {\displaystyle r=(p-a)\tan {\frac {\alpha }{2}}=(p-b)\tan {\frac {\beta }{2}}=(p-c)\tan {\frac {\gamma }{2}}}

• mwraIncentro

• mwrgIncerchio

• mwsaTeorema giapponese

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Inradius, su MathWorld, Wolfram Research.